Sürekli kesirler ve pell denklemleri üzerine / Hamza Çalışıcı; Danışman M. Hikmet Develi.

Abstract

Bu çalışmada, sürekli kesirlerin temel özellikleri genel olarak tanıtılmış ve bazı Pell denklemlerinin tüm tam sayı çözümleri ile olan ilişkisi üzerinde durulmuştur. İkinci bölümde sonlu ve sonsuz sürekli kesirler tanıtılmıştır. Her bir irrasyonel sayının bir sonsuz sürekli kesre açılabileceği gösterilmiştir. Özel olarak periyodik sürekli kesirler verilmiş ve karekök d nin sürekli açılım üzerinde durulmuştur. Ayrıca irrasyonel sayılara rasyonel değerle yaklaşımın sürekli kesirler yardımı ile yapılabileceğine dair teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde x2 - dy2 = N, /N/ büyüktür karekök d şeklinde tanımlı genel Pell denkleminin x. y tam sayı çözümleri ile sonsuz sürekli kesirler arasındaki ilişki üzerinde durulmuştur. Daha sonra karekök d'nin sürekli kesre açılımının H.Wada tarafından yapılan yorumu verilmiştir. Dördüncü bölüm çalışmamızın orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde N = +- 1 hali için / x2 - dy2 / =1 Pell denkleminin tam sayı çözümleri ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca karekök d'nin sürekli kesre açılımında yararlanılan rekürans değerlerinin simetrikliği gösterilmiştir. Bu simetriklik ile tüm pozitif çözümler arasındaki ilişki açıklanmıştır. Sonuç ve öneriler bölümünde ise, elde edilen tüm sayı ve çözümlerinin Q (karekök d) reel kuadratik sayı cisminin = tamlık halkasının birimler gurubunun elamanları ile olan ilişkisi verilmiştir. Bir sonuç olarak, d =2,3 (mod 4) hali için birimler gurubunun elemanları, üçüncü bölümde takip edilen yol yardımı ile elde edilmiştir. Ayrıca x2 - dy2 = +-4 Pell denkleminin tam sayı çözümlerine dair öneriler sunulmuştur.